最後的頑固者倒下了：AI 代理助數學家攻克 M23 逆伽羅瓦問題

2026 年 5 月，在加州理工學院最高建築頂樓附近的會議室裡，美國數學研究所（AIM）向在場數學家提出了一個不尋常的問題：哪些未解難題，正好適合發揮 AI 的獨特長才——在超越人類尺度的可能性空間中進行篩選？科羅拉多州立大學的 Rachel Pries 走上講台，提名了一個「懸置非常、非常久」的題目。不到三個月，這個問題就被解決了。

這項成果刊載於《Scientific American》9 月 22 日的深度報導，並以預印本論文 The Mathieu group M₂₃ is a Galois group over ℚ（arXiv:2608.08538，8 月 9 日提交）形式發表。它為數學最古老的未解問題之一畫下了 40 年漫漫征程的最後一筆，也堪稱至今為止、純數學前沿上「人機協作」最乾淨俐落的示範之一：不是模型取代數學家，也不是噱頭——代理（agents）做了人類實際上做不來的組合搜尋苦工，而每一個關鍵判斷，都還是人下的。

問題：把對稱反過來看

逆伽羅瓦問題（inverse Galois problem）的方向，與我們在學校學的 多項式方程 論完全相反。對任何一條有理係數多項式，演算法都能算出它的伽羅瓦群（Galois group）——即在所有代數恆等式不被破壞的前提下，其根可以被置換的方式總目錄。這套理論由法國數學家 Évariste Galois 在 19 世紀初建立；他在 20 歲死於決鬥之前，用隱藏在方程解中的對稱結構，為多項式做出了遠比「有理根／無理根」精細的分類。

正向是機械式的，反向卻不然：給定一個特定的有限群，是否一定存在某條多項式，其伽羅瓦群恰好就是它？一般情形至今無人知曉答案。

多數有限群都排在整齊的無限家族裡——置換三個根得一個群、四個根得下一個，一路往上爬。但有限單群分類定理揭露了 26 個叛逆者：零散群（sporadic groups）。它們不屬於任何家族、不遵循任何模式。1984 到 1989 年間，數學家把其中 25 個群實現為有理數域上的伽羅瓦群。只有一個拒絕就範：作用於 23 個點的 Mathieu 群 M₂₃——19 世紀就被發現，此後一路頑抗。

「就剩這一個釘子戶，」MIT 的 Bjorn Poonen 對《Scientific American》說。「我甚至覺得，有些人已經開始懷疑會不會根本不存在伽羅瓦群是 M₂₃ 的多項式。」

團隊與方法

Caltech 工作坊結束後，主辦方讓與會者競標想攻的題目，逆伽羅瓦問題迅速吸引了一堆出價，最後湊出一支從未合作過的六人夢幻隊：Pries 與 Poonen，加上天普大學的 Xiaoyu Huang、數學電腦輔助推理研究所（ICARM）的 Blake Jackson、康乃狄克大學的 Kyu-Hwan Lee，以及 Caltech 博士生 Shaowu Zhang。

論文中的策略，是在 M₂₃ 內部找出一組非剛性共軛類三元組（non-rigid triple of conjugacy classes），再計算 Belyi 映射，構造出一個伽羅瓦群為 M₂₃ 的 ℚ(t) 上明確正則伽羅瓦擴張——一條有理係數的 23 次多項式便從中誕生。計算引擎則是 Klug、Musty、Schiavone、Sijsling 與 Voight 發展的數值 Belyi 映射演算法，其思想源於 Hejhal 與 Stark。

機器就是在這裡登場的。

算到第 90 位小數的徒勞，與一場「奇蹟」

團隊讓 AI 去 M₂₃ 裡翻找對稱組合，搜出七個候選曲面，再請 AI 對它們做數值逼近——希望那些小數能結晶成認得出來的精確數字。沒有。AI 不斷要求更高精度，到第 90 位時，記憶體已經被塞爆，計畫停擺。

此時 Zhang 在團隊聊天室裡提出一個猜想：問題出在座標選擇。解法並非什麼精妙的巧思，而是又一輪蠻力掃蕩——換一批更「和諧」的座標系重來。他們在論文裡用「奇蹟般」（miraculous）形容接下來發生的事：一群 AI 代理被派上陣，大多數都失敗了，只有一個興沖沖地回報七個曲面中的某一個，用代理自己的話說——「這個可能有戲！」（“This might work!”）

真的有戲。再幾步，那個曲面的數值逼近被轉換成一條明確的方程，最終得出一整族 23 次多項式——23 個根可置換，對稱群恰好是 M₂₃。論文中展示的一條這樣開頭：x²³ − 184x²¹ − 1150x²⁰ + 26151x¹⁹ + ⋯，整數係數一路暴衝到兆級，常數項收在 −3,150,159,884,154。

最驚人的是時程：5 月工作坊、8 月預印本。「我們做得非常有效率，」Kyu-Hwan Lee 說。「這在五年前根本不可能。」

為什麼重要

M₂₃ 的成果，是一幅巨大拼圖中小而關鍵的一塊。數學家猜想存在一個主宰一切的超級物件——絕對伽羅瓦群（absolute Galois group）——一次編碼所有多項式的對稱性，刻劃它的結構是數論最宏大的野心之一。每一個被實現為 ℚ 上伽羅瓦群的有限群，都是這幅地圖上一塊被確認的碎片；如今，最後一塊零散碎片已經就位。

這件事也正好落在「AI 做數學」新聞滿天飛的季節裡，提供了很好的校準點。另一條平行線上，由 Terence Tao 等頂尖學者創立的科學與 AI 研究基金會（SAIR）辦了一場群眾外包競賽，目標是為每一個作用於 24 個根的群找出對應多項式。第一階段於 8 月底落幕，25,000 個群與多項式的對應關係全數達成。儘管全程開放且大量使用 AI，最後的冠軍——兩位德國數學家——只讓 AI 做了一件事：寫上傳腳本。

「競賽對 AI 開放，結果還是這兩位做得最好，」競賽主辦人之一、Mount Holyoke 學院的 Jen Paulhus 說。「身為一線數學家，這讓我感到欣慰。」

M₂₃ 給出的啟示，比吹捧或唱衰都更細緻。代理們沒有構思策略、沒有挑選共軛類、沒有察覺問題出在座標、也沒有驗證最終的證明——這些全是人做的。代理做的事，是以任何人類團隊都負擔不起的廣度，去搜尋對稱組合與座標系的空間，然後由其中一個標記出那根針。原來前沿是一種分工：品味、判斷與證明仍然屬於人類；組合的汪洋，已經不是了。